HOŞ GELDİNİZ

[ ]

Köşeli parantezler, vektörleri ve matrisleri biçimlendirmek için kullanılır. Örneğin [6.9,9.64, sqrt(-1) ] elemanları virgüllerle (veya boşluklarla) ayrılmış üç elemanlı bir vektördür. Buna karşılık [11 12 13;21 22 23], iki satır ve üç sütundan ibaret 2x3 lük bir matrisi gösterir. Burada noktalı virgül ”;”matris oluşturulmasında bir satırı sona erdirip bunu izleyen satırın oluşmasını sağlar. Böylece mxn boyutundaki bir matrisi kolayca oluşturmak mümkündür. Vektör ve matrisler [ ] köşeli parantez içinde gösterilir. Örneğin bir A matrisinin satır sayısı B matrisinin satır sayısına eşit ve B nin satır sayısı ve A nın sütun sayısı artı B nin sütun sayısı C nin sütun sayısına eşit ies [A B; C] biçiminde yeni bir matris oluşturmakta mümkündür.

A=[ ]

Biçiminde bir bildirim boş bir matrisi A değişkenine atar.

( )

MATLAB içinde normal parantez çeşitli amaçlarla çeşitli yerlerde kullanılır. Olağan yoldan; aritmetik deyimlerin üstünlüğünü belirtmek ve fonksiyon argümanlarını (arguments) kapatmak için kullanılır. Daha genel anlamda da vektör ve matrislerin indislerini kapatmak için kullanılır. Eğer X ve V bir vektör ise X(V) de bir vektördür ve

[ X( V(1) ), X( V(2) ) , . . . . . , X( V(N) ) ]

şeklinde gösterilir. V’nin elemanları en yakın tamsayıya yuvarlatılarak indisler olarak kullanılır. Eğer bu tür bir indisin değeri 1 den küçük veya X’in boyutundan küçük olacak olursa hata ortaya çıkar. Bazı örnekler verecek olursak; X(3) X vektörünün 3’ncü elamanını gösterir.

X( [1 2 3] )

ve benzer şekilde

X( [sqrt(2), sqrt(3), 4*atan(1)] )

X vektörünün ilk üç elemanını göstermek için kullanılır. Eğer X’in N adet elemanı varsa

X( N:-1:1 )

komutu yukarıdaki işlemi ters çevirir. Benzer şekilde dolaylı indisleme matrislerde de kullanılır. Örneğin V’nin M elemanı ve W’nun N elemanı mevcut olsun. Bu durumda A(V,M) A’nın elemanlarından oluşmuş MxN boyutlu bir matrisdir. Burada !’nın indisleri V ve W nun elemanlarıdır. Örnek olarak;

A( [1,5],: ) =A( [5,1] ),: )

İfadesi A matrisinin 1 ve 5’nci satırları arasında yer değiştirme sağlar.

.

Kesir ayırma işareti. 314/100, 3.14 ve .314e1 aynı anlama gelir. Nokta işareti aynı zamanda eleman elemana çarpma ve bölme işleminde de kullanılır. Kullanılış biçimleri; .*, .^, ./, . veya .’. şeklindedir. Örneğin, C=A./B elemanları c(i,j)=a(i,j)/b(i,j) olan bir matrisdir.

...

Bir tek satıra sığmayan ifadelerin bir alttaki satırda devam ettiğini gösterir.

,

Matris indislerini ve fonksiyon argümanlarını ayırmak için kullanılır. Virgül işareti aynı zamanda bir satıra birden fazla bildirim yazılması halinde bildirim komutlarını ayırmak için de kullanılır.

;

Noktalı virgül bir bildirimde elde edilen sonuçların program icrası sonunda ekranda görüntülenmesini önlemek için kullanılır. Ayrıca köşeli parantezler içinde matrislere ait satırları sona erdirmek için de kullanılır.

%

Yüzde işareti açıklama satırları için kullanılır. Başında % işareti bulunan satırlar icra edilmez. Bir çizgi üzerinde bulunan % işareti, çizginin mantıksal bir sonu olduğunu gösterir.

!

‘!’ işaretini izleyen herhangi bir yazı DOS komutu işlemi görür. Böylece MATLAB içinde DOS komutlarını çalıştırma imkanı sağlanır.

:

Sütun işareti; indislerde, FOR iterasyonlarında ve muhtemelen her yerde kullanılabilinir. Belli başlı kullanım biçimleri aşağıda olduğu gibidir.

J:K, J den başlayarak 1 er 1 er K ya kadar artan bir dizi oluşturur. Ve [ J, J+1 ... , K] aynı anlama gelir.

J:K da J>K ise boş bir vektörü sonuçlandırır.

J:I:K J ile başlayan I aralığında artarak K’ ya kadar giden bir dizi oluşturur ve

[ J, J+1, J+2I, . . ., K]

ifadesi ile aynı anlama gelir.

J:I:K ifadesinde I>0 ve J>K veya I<0 ve J<K olacak olursa boş bir matris sonuçlanır.

Sütun işareti aynı zamanda vektörlerin ve matrislerin seçilen satırlarını, sütunlarını ve elemanlarını ayırmak için de kullanılır. Bu durum aşağıdaki örneklerle de gösterilmiştir.

A(

Tek bir sütun olarak A nın tüm elemanlarıdır. Atanan bir bildirimin sol tarafında A(

önceki biçimini koruyarak A yı doldurur.

A( : , J ) A’nın J’inci sütunu ile aynıdır.

A( : , J+1) A’nın J’den itibaren birer birer artarak K ya kadar giden elemanlarını gösterir ve A(J), A(J+1), ..., A(K) ile aynıdır.

A( :, J : K) Benzer şekilde A( : , J), A( :, J+1), ... ,A( :, K ) ile aynıdır.

¢

Tırnak işareti matrislerin transpozesini almayı sağlar. X’ , X matrisinin karmaşık eşlenik transpozesini ve X.’ İse eşlenik olmayan transpozesini sonuçlandırır. Ayrıca ‘ANY TEXT’ şeklindeki aktarım işlemlerinde karakterler için elemanları ASCII kodlarında bir vektörü göstermek için kullanılır.

+

Toplama, X+Y iki matrisin toplamını alır. Bu toplamın gerçeklenebilmesi için matrislerin aynı boyutlarda olması gerekir. Yalnızca matrislerden birisi skalar olduğunda toplam gerçeklenebilir. Bir skalar herhangi bir şeye eklenir.

-

Çıkarma, X-Y X matrisinden Y matrisini çıkarır. Burada da toplama işlemindeki benzer koşulların gerçeklenmesi gerekir.

*

Matrisyel çarpım işlemcisi. X*Y X ve Y matrislerinin matris çarpımını gösterir. Herhangi bir skalar (1x1elemanlımatris) herşey ile çarpılabilinir. Aksi takdirde X matrisinin sütun sayısı Y matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

*

Eleman elemana çarpım işlemcisi. X.*Y eleman elemana çarpma işlemini gösterir. Birisi skalar olmadıkça, X ve Y matrislerinin eleman sayıları eşit olmalıdır. Yalnız bir skalar her şey ile çarpılabilinir.

Matrisyel soldan bölme işlemcisi. AB B matrisinin A matrisine bölümünü gösterir ki bu da hemen hemen inv(A)*B işlemi ile aynıdır. Yalnız hesaplama biçimleri farklıdır. Eğer A NxN elemanlı bir matris ve B de N elemanlı Sütun vektörü ise X=AB ifadesi Gaussian eliminasyonu yoluyla hesaplanan A*X=B denklemi için bir çözümdür. Eğer A matrisi kötü bir şekilde ölçeklendirilmiş veya hemen hemen tekil ise bir uyarı mesajı alınır. Aeye(A) ifadesi A’nın tersini sonuçlandırır. Eğer A mxn olacak şekilde m x n elemanlı bir matris ve B de m elemanlı sütun vektörü ise X=AB en küçük kareler cinsinden altında ve üstünde saptanan sistem denklemlerinin, A*X=B bir çözümdür.

.

Skalar veya eleman elemana soldan bölme işlemcisi. A.B deyimi; elemanları B( i, J)A(i, J) olan bir matrisdir. Yalnız burada A ve B ‘nin aynı boyutta olması gerekir.

/

Matrisyel sağ bölme işlemcisi. B/A B matrisinin A matrisine bölümünü gösterir ki bu da hemen hemen B*inv(A) ile aynıdır. Yalnız hesaplama yöntemleri bakımından farklılık gösterir. Diğer bir biçimi ile B/A=(A’’B) dır.

./

Eleman elemana bölme işlemcisi. B./A eleman elemana bölme işlemini gösterir. Bu durumda A ve B matrisinin aynı boyutta olması gerekir. Yalnız birini skalar olması halinde buna gerek yoktur. Çünkü bir skalar herşey ile bölünebilir.

3./A ile 3 ./A aynı işlem olmadığına dikkat etmek gerekir. Çünkü birinci ifadede nokta 3 rakamının kesir işaretini gösterdiğinden matris bölme işlemini yaptırır ve ikinci ifade de ise nokta eleman elemana bölme işlemini işaret eder.

^

Matrisyel kuvvet alma işlemcisi. Z=X^y ifadesi y’nin skalar olması halinde X’in Y’inci kuvvetini aldırır. Eğer y birden büyük bir tam sayı ise kuvvet alma işlemi tekrarlı çarpma yolu ile hesaplanır. y’nin diğer değerleri için hesaplama özdeğerler ve özvektörler yolu ile gerçeklenir. Z=x^Y ifadesinde x’in Y’inci kuvvetinin alınmasında eğer Y bir matris ve x bir skalar ise hesaplama işlemi özdeğerler ve özvektörler kullanılarak yapılır. Z=X^Y de X ve Y’nin her ikisinin de matris olması halinde hata oluşur.

^

Eleman elemana kuvvet alma işlemcisi. Z=X.^Y ifadesi eleman elemana kuvvet alma işlemini gösterir. Ancak birinin skalar olması halinde bu koşul aranmaz. Çünkü bir skalar ile işlem görebilir.

<

...den küçük bağıntı işlemcisi. “<=” ...den küçük veya eşittir işlemcisi. C=A<B bildirimi A ve B matrisleri arasında eleman elemana karşılaştırma yapar ve aynı boyutta bir matrisi sonuçlandırır. C matrisinin elemanları; bağıntının gerçek olması halinde bir ve gerçek olmaması halinde de sıfır olarak atanır. A ve B matrisleri aynı boyutta olmalıdır. Yalnız birinin skalar olması halinde bu şarta gerek yoktur. Çünkü bir skalar ile karşılaştırılabilir. Diğer bağıntı işlemcileri; >, >= , = = , ~ = şeklindedir.

>

...den büyük bağıntı işlemcisi. “>=” ...den veya eşittir işlemcisi.

=

Bildirimleri atamak için kullanılır.

= =

Mantıksal eşittir bağıntı (relational) işlemcisi.

&

Mantıksal AND (ve): C=A & B bildiriminde; A ve B matrislerinin her ikisi de sıfırdan farklı elemanlara sahip olduğunda 1 ve sadece bir tanesi sıfır elemana sahip olduğunda da sıfır elemanlı bir matris sonuçlandırır. A ve B aynı olduğunda da sıfır elemanlı bir matris sonuçlandırır. A ve B nin aynı boyutta matrisler olması gerekir. Yalnız birinin sıfır olması halinde bu koşula gerek yoktur.

|

Mantıksal OR (veya): C=A | B bildirimi A ve B matrisleri sıfırdan farklı elemana sahip olduğunda, 1 ve her ikisinden birisi sıfır olduğunda sıfır elemanlı bir matris sonuçlandırır.

~

Mantıksal tamamlayıcı (complemet) NOT (değil) işlemcisi ~ = : Eşit değildir işlemcisi. B~= bildiriminde; A matrisi bir sıfır elemanına sahip olduğunda 1 ve sıfırdan farklı elemanlara sahip olduğunda 1 ve sıfırdan farklı elemanlara sahip olduğunda da sıfır elemanlı bir matrisi sonuçlandırır.

ÖRNEKLER

ABS: İşaretin genlik spektrumunu görmemize yarar. Başka bir şeyle karşılaştırılarak ölçülemeyen değerdir.

ABS(X): X’in elemanlarının ölçülemeyen değeridir. X karmaşık olduğunda, ABS(X) X’in elemanlarının kompleks büyüklükleridir.

1. MATLAB kullanarak *.wav dosyası olarak kaydedilmiş bir ses işaretinin frekans spektrumunu ve genlik spektrumunu bulunuz.

x=wavread('c:MTUMT1.wav');

>> subplot (2,1,1);

>> plot(x)

>> title('x[t]');

>> y=fft(x);

>> subplot(2,1,2);

>> plot(abs(y));

>> title('Genlik Spektrumu');

2. Zaman ekseninde sonlu işareti dürtü yanıtı ile çarpıp, filtreden geçiren programı yazınız.

y=wavread('c:MTUMT2.wav');

>> subplot(1,3,1);

>> plot(x)

>> h=[0,0067 0,1250 0,3653 0,1562 0,0083];

>> z=conv(y,h);

>> subplot(1,3,2)

>> plot(z,'s')

>> d=fft(z);

>> subplot(1,3,3)

>> plot(abs(d))

3. MATLAB kullanarak zaman ekseninde sonlu işaretin genliğini ve fazını bulunuz.

x=wavread('c:MTUMT3.wav');

>> subplot(3,1,1)

>> plot(x)

>> spec=fft(x);

>> subplot(3,1,2)

>> mag=abs(spec);

>> plot(mag)

>> subplot(3,1,3)

>> ph=angle(spec);

>> plot(ph)

4. MATLAB kullanarak giriş işareti ve dürtü yanıtı verilen LZD’ sistemin çıkışını

ve frekens spektrumunu ve genlik spektrumunu bulunuz.

n=-10:10;

>> x=[0 0 0 0 1 2 0 -1 0 0 0];

>> subplot(4,1,1)

>> stem(x)

>> subplot(4,1,2)

>> h=[0 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0];

>> stem(h)

>> y=conv(x,h);

>> subplot(4,1,3)

>> stem(y,'r')

>> subplot(4,1,4)

>> z=fft(y);

>> stem(abs(z))

MATLAB kullanarak sıfır ve kutuplarını belirlediğimiz bir sistemin frekans

yanıtını bulunuz.

p=[0.5;0.45+0.5i;0.45-0.5i];

>> z=[-1;i;-i];

>> zplane(z,p);

>> k=1;

>> [num,den]=zp2tf(z,p,k);

>> [h,w]=freqz(num,den);

>> subplot(2,1,1)

>> plot(w,abs(h));

>> title('Genlik');

>> subplot(2,1,2);

>> plot(w,angle(h));

>> title('faz');

Kesim frekansı fk=5 kHz hamming pencereleme yöntemi kullanılarak

tasarlanacak 20. derece alçak geçiren bir FIR süzgeç tasarlayınız.

[y,fs,bits]=wavread('c:MTUMT2.wav');

>> y1=fir1(20,0.907,hamming(21));

>> subplot(2,1,1);

>> z=conv(y,y1);

>> plot(z),

>> t=fft(z);

>> subplot(2,1,2);

>> plot(abs(t));

MATLAB kullanarak frekans örneklemesi yöntemiyle ideal bir alçak geçiren

süzgeçten yola çıkıp Ωc=п/2 kesim frekansı olan 4. dereceden alçak geçiren bir

FIR süzgeç tasarlayınız.

F=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

>> A=[1 1 1 0 0 0];

>> h=fir2(4,F,A);

>> subplot(4,1,1)

>> plot(h)

>> subplot(4,1,2);

>> x=fft(h);

>> plot(abs(x));

>> mag=abs(x);

>> subplot(4,1,3);

>> plot(mag)

>> ph=angle(x);

>> subplot(4,1,4)

>> plot(ph)

Kesim frekansı fk=3 kHz olan ve Blackman penceresi kullanarak tasarlanacak

derece alçak geçiren bir FIR süzgeç tasarlayınız.

[y,fs,bits]=wavread('c:MTUMT3.wav');

>> x=fir1(10,0.544,blackman(11));

>> z=conv(x,y);

>> subplot(1,2,1);

>> plot(z)

>> title('z[n]');

>> t=fft(z);

>> subplot(1,2,2)

>> plot(abs(t))

>> title('Genlik');

Kesim frekansı fk=10 kHz olan ve Hamming pencereleme yöntemi kullanılarak

tasarlanacak 20.derece alçak geçiren bir FIRsüzgeç tasarlayınız.

[y,fs,bits]=wavread('c:MTUMT2.wav');

>> y2=fir1(20,0.4535,hamming(21));

>> z1=conv(y,y2);

>> subplot(1,2,1)

>> plot(z1)

>> title('z1[n]');

>> t1=fft(z1);

>> subplot(1,2,2)

>> plot(abs(t1))

>> title('Genlik')

10. MATLAB kullanarak dürtü değişmezliği ile bir Butterworth süzgeci

tasarlayınız. Süzgecin geçirme bandı kesim frekansı Ωg=0.2 olsun ve geçirme

bandında genlik yanıtı en çok –0.915 dB’ ye düşebilsin. Süzgecin söndürme

bandı kesim frekansı Ωs=0.4 olsun ve söndürme bandında genlik yanıtı

-20 dB’nin altında bulunsun.

[n,wn]=buttord(0.2,0.4,-0.915,-20);

>> [b,a]=butter(n,wn,'s');

>> [bz,az]=impinvar(b,a,1/pi);

>> [h,w]=freqz(bz,az);

>> subplot(1,2,1)

>> plot(w,abs(h))

>> subplot(1,2,2)

>> plot(x)

>> x=angle(h);

*******************************************************************

Angle

Faz açısıdır.

ANGLE ( H ) : Kompleks elamanlı matrislerin faz açılarını radyana çevirir.

Örnek 1:

z = 3 + 4i sayısının modülünün ve açısını bulunması.

z = 3 + 4i ;

abs ( z )

ans =

angle (z)

ans =

0.9273

Örnek 2:

Z =

1.0000 - 1.0000i   2.0000 + 1.0000i   3.0000 - 1.0000i   4.0000 + 1.0000i

1.0000 + 2.0000i   2.0000 - 2.0000i   3.0000 + 2.0000i   4.0000 - 2.0000i

1.0000 - 3.0000i   2.0000 + 3.0000i   3.0000 - 3.0000i   4.0000 + 3.0000i

1.0000 + 4.0000i   2.0000 - 4.0000i   3.0000 + 4.0000i   4.0000 - 4.0000i

P = angle(Z)

P =

   -0.7854    0.4636   -0.3218    0.2450

    1.1071   -0.7854    0.5880   -0.4636

   -1.2490    0.9828   -0.7854    0.6435

    1.3258   -1.1071    0.9273   -0.7854

Örnek 3:

Bir dizinin FFT sini hesaplamak.

t = ( 0 : 99 ) / 100; % zaman vektörü

x = sin ( 2*pi*15*t ) + sin ( 2*pi*40*t ); % işaret

y = fft ( x ) % DFT hesabı

p = unwrap ( angle(y) ) % fazın hesaplanması

Örnek 4:

H (s) = ( 0.2s²+ 03s + 1 ) / ( s² + 0.4s +1 ) olarak verilen transfer fonksiyonun frekans cevabının bulunması.

a = [ 1 0.4 1 ] ;

b = [ 0.2 0.3 1 ] ;

w = logspace ( -1 ,1 ) ;

freqz ( b, a, w )

h = freqz ( b, a, w );

mag = abs (h) ;

phase = angle (h) ;

Örnek 5:

Butterworth süzgecinin grup ve faz gecikmesinin çizdirilmesi.

[ b, a ] = butter (10, 200 / 1000 ) ;

gd = grdelay ( b, a, 128 ) ;

[ h, f ] = freqz ( b, a, 128, 2000 ) ; %süzgecin karakteristiğini belirtiyor.

pd = - unwrap ( angle( h ) ) * ( 2000 / ( 2*pi ) ) ./ f;

plot ( f, gd, ‘-‘ , f , pd, ‘—‘ )

axis ( [ 0 1000 –30 30 ] )

Örnek 6:

Transfer fonksiyonu H (z) = 1/ ( 1-0.4z^-1-0.05z^-2 ) olarak verilen nedensel bir sistemin frekans yanıtının bulunması.

b = [1 0 0 ] ; % payın katsayıları

a = [ 1 -0.4 –0.5] ; % paydanın katsayıları

w = -pi:2*pi/300:pi ; % ( -π,π ) aralığında frekans değerleri tanımlar.

Hf = freqz( b, a, w ); % frekans yanıtının hesaplanması

subplot( 2, 1, 1 )

plot ( w, abs(Hf) ); % frekans yanıtının genliğini çizdirir.

subplot( 2, 1, 2 )

plot ( w, angle (Hf) ); % frekans yanıtının fazını çizdirir.

Örnek 7:

Dürtü değişmezliği ile Butterworh süzgeci tasarımı. Süzgecin geçirme bandı kesim frekansı Ω_g = 0.2 olsun ve geçirme bandında genlik yanıtı en fazla –0.915 dB’ ye düşsün. Söndürme bandı kesim frekansı Ω_s = 0.4 olsun ve söndürme bandı genlik yanıtı –20 dB’ nin altında bulunsun.

[ n, wn ] = buttord( 0.2, 0.4, -0.915, -20 )

wc = 2*tan(wn/2) % ayrık zamanlı kesim frekansını sürekli

zaman karşılığına çevirir.

[b, a] = butter(n, wc, ‘s’) % sürekli zamanlı Butterworh süzgeci

oluşturulması.

[bz,az] = bilinear(b,a,1/pi) % sürekli zaman süzgeç fonksiyonu

Bilineer dönüşüm ile ayrık zamana

Dönüştürülür.

[h,w] = freqz(bz,az); % süzgecin frekans yanıtının buluması.

plot( w, abs(h) )

plot( w, angle(h) )

Örnek 8:

Bir ses dosyasının okutularak fourier dönüşümü alınarak genlik ve fazının çizdirilmesi.

y = wavread( ‘c:matlabworkspeech_dft’);

spec = fft(y);

mag = abs(spec);

subplot( 2, 1, 1 )

plot(mag);

ph = angle(spec);

subplot( 2, 1, 2 )

plot(ph);

***************************************************************************

REAL

Real komutu Karmaşık bir sayı veya işaretin gerçek kısmı ifade eder. x herhangi bir karmaşık ifadeyi göstermek üzere real(x) biçiminde kullanılır. İstediğimiz ifadeyi real komutunda parantez içinde belirttiğimizde ifadenin gerçek kısmını elde ederiz.

En basit biçimde,

Örnek 1

EDU» real(2+3*i)

ans =

2

2+3i ifdesinin gerçek kısmı 2’dir.

Örnek 2

Karmaşık sayılardan oluşan 3x3’lük bir matrisin gerçek kısmı.

EDU» x=[3+2*i 1-3*i 4+2*i

2+6*i 4-1*i -3-3*i

7+3*i -1-2*i -3+2*i]

x =

3.0000 + 2.0000i 1.0000 - 3.0000i 4.0000 + 2.0000i

2.0000 + 6.0000i 4.0000 - 1.0000i -3.0000 - 3.0000i

7.0000 + 3.0000i -1.0000 - 2.0000i -3.0000 + 2.0000i

EDU» real(x)

ans =

3 1 4

2 4 -3

7 -1 -3

Örnek 3

3x4’lük bir matrisin gerçek ve imajiner kısmı.

EDU» x=[1+3*i 2-1*i -5-7*i

2+4*i 0+5*i 0-3*i

5-4*i 2+2*i 2

-2 -2-2*i 0]

x =

1.0000 + 3.0000i 2.0000 - 1.0000i -5.0000 - 7.0000i

2.0000 + 4.0000i 0 + 5.0000i 0 - 3.0000i

5.0000 - 4.0000i 2.0000 + 2.0000i 2.0000

-2.0000 -2.0000 - 2.0000i 0

EDU» r=real(x) %gerçek kısmı

r =

1 2 -5

2 0 0

5 2 2

-2 -2 0

EDU» i=imag(x) %imjiner kısmı

i =

3 -1 -7

4 5 -3

-4 2 0

0 -2 0

EDU» y=r+i*j % a+jb şeklinde toplamı aldığımızda yeniden x’i verir

y =

1.0000 + 3.0000i 2.0000 - 1.0000i -5.0000 - 7.0000i

2.0000 + 4.0000i 0 + 5.0000i 0 - 3.0000i

5.0000 - 4.0000i 2.0000 + 2.0000i 2.0000

-2.0000 -2.0000 - 2.0000i 0

Örnek 4

Transfer fonksiyonu

İçin kutup-sıfır grafiğini çizdirelim.

EDU» a=[1 -0.75 0.90 -0.25];

EDU» b=[0.25 0.36 0.36 0.25];

EDU» [z,p,k]=tf2zp(b,a);

EDU» zplane(z,p)

şimdi bu kutup ve sıfırların karmaşık kısımlarını yok edip sadece gerçek kısımlarını alip transfer fonksiyonunu bulalım.

EDU» z=real(z);

EDU» p=real(p);

EDU» zplane(z,p)

EDU» [b,a]=zp2tf(z,p,k);

EDU» b

b =

0.2500 0.3600 0.1221 0.0121

EDU» a

a =

1.0000 -0.7500 0.1829 -0.0146

yeni transfer fonksiyonu:

Örnek 5

Blackaman filtresinin fourier dönüşümünün gerçek kısmının genlik ve faz yanıtı

EDU» y=fir1(10,0.25,blackman(11)); 10. dereceden kesim frekansı 0.25π

EDU» f=fft(y); fourier dönüşümünü al

EDU» r=real(f); fourier dönüşümünün gerçek kısmı

EDU» subplot(2,2,1)

EDU» stem(abs(f))

EDU» title('filtrenin genlik yanıtı')

EDU» subplot(2,2,3)

EDU» stem(angle(f))

EDU» title('filtrenin faz yanıtı')

EDU» subplot(2,2,2)

EDU» stem(abs(r))

EDU» title('fourier dönüşümünün gerçek kısmı alınmış filtrenin genlik yanıtı')

EDU» subplot(2,2,4)

EDU» stem(angle(r))

EDU» title('fourier dönüşümünün gerçek kısmı alınmış filtrenin faz yanıtı')

blackman filtresinin fourier dönüşümü karmaşık bir ifade olduğundan gerçek kısmı alındığında şekilde görüldüğü gibi faz yanıtı değişmiştir. Faz yanıtı sadece 0 ve π değerlerini almaktadır.

Örnek 6

Fourier dönüşümü alınan bir işaretin ters fourier dönüşümü

EDU» t=0:1000; % 0 1000 arasında tanımlı

EDU» x=sin(2*pi*0.01*t); % sinüs işareti

EDU» plot(x)

EDU» subplot(3,1,1)

EDU» plot(x)

EDU» title('sinüs işareti')

EDU» f=fft(x); % fourier dönüşümü

EDU» a=ifft(f); % yeniden ters fourier dönüşümü

EDU» subplot(3,1,2)

EDU» plot(a)

EDU» title('fourieri alınmış sinüs işaretinin ters fourieri')

EDU» r=real(a); %yeniden orijinal işareti elde etmek için

EDU» subplot(3,1,3)

EDU» plot(r)

EDU» title(' ters fourier in gerçek kısmı')

bir işaret’in ifft ile ters fourier’i alınınca işaret zamanda çizdirilmek istenirse önce real komutu kullanılarak gerçek kısmı alınmalıdır.

Örnek 7

EDU» n=-10:10; %-10,10 arasında tanımlı

EDU» x=n.*0; % x’in tüm değerleri sıfır

EDU» for i=1:length(n)

if(n(i)==0)x(i)=1; %x’in sıfır anındaki değeri 1

elseif(n(i)==1)x(i)=-1; %x’in bir anındaki değeri -1

elseif(n(i)==2)x(i)=1; %x’in iki anındaki değeri 1

elseif(n(i)==3)x(i)=2; %x’in üç anındaki değeri 2

end

EDU» subplot(2,1,1)

EDU» stem(x) % x’i çiz

EDU» title('orjinal işaret')

EDU» f=fft(x) % x’in fourier dönüşümü

f =

Columns 1 through 4

3.0000 -2.3671 + 1.4961i 0.7729 - 2.1867i 1.0245 + 1.6708i

Columns 5 through 8

-2.2002 - 0.1464i 2.2760 - 1.7052i -1.3460 + 3.0796i 0 - 3.4641i

Columns 9 through 12

1.0102 + 2.8851i -1.1784 - 1.8639i 0.5082 + 1.1076i 0.5082 - 1.1076i

Columns 13 through 16

-1.1784 + 1.8639i 1.0102 - 2.8851i 0.0000 + 3.4641i -1.3460 - 3.0796i

Columns 17 through 20

2.2760 + 1.7052i -2.2002 + 0.1464i 1.0245 - 1.6708i 0.7729 + 2.1867i

Column 21

-2.3671 - 1.4961i

EDU» r=real(f) %fourier dönüşümünün gerçek kısmı

r =

Columns 1 through 7

3.0000 -2.3671 0.7729 1.0245 -2.2002 2.2760 -1.3460

Columns 8 through 14

0 1.0102 -1.1784 0.5082 0.5082 -1.1784 1.0102

Columns 15 through 21

0.0000 -1.3460 2.2760 -2.2002 1.0245 0.7729 -2.3671

EDU» y=real(ifft(r)); %ters fourier’i

EDU» subplot(2,1,2)

EDU» stem(y)

EDU» title('fourierinin gerçek kısmı alınmış işaret')

Örnek 8

EDU» n=-10:10; %-10:10 arasında tanımlı

EDU» x=n.*0;

EDU» for i=1:length(n)

if(n(i)==0)x(i)=1; %birim dürtü işareti

end

EDU» subplot(2,2,1)

EDU» stem(x) %birim dürtü işaretini çiz

EDU» title('birim dürtü işareti')

EDU» f=fft(x);

EDU» subplot(2,2,3)

EDU» stem(abs(f)) %birim dürtü işaretin genlik spektrumunu çiz

EDU» title('birim dürtü işaretin genlik spektrumu')

EDU» r=real(f); %fourierin gerçek kısmı

EDU» subplot(2,2,4)

EDU» stem(abs(r)) %gerçek kısmın genlik spektrumu

EDU» title('fourierin gerçek kısmı alınmış işaret')

EDU» subplot(2,2,2)

EDU» stem(real(ifft(r))) %ters fourier alarak çiz

EDU» title('fourierin gerçek kısmı alınmış işaretin genlik spektrumu')

Örnek 9

EDU» x=[1 -5 -8 1 -3 -4]

x =

1 -5 -8 1 -3 -4

EDU» y=exp(x)+sqrt(x) % y=e^x+

y =

Columns 1 through 4

3.7183 0.0067 + 2.2361i 0.0003 + 2.8284i 3.7183

Columns 5 through 6

0.0498 + 1.7321i 0.0183 + 2.0000i

EDU» real(y) %y’nin sadece gerçek kısmı

ans =

3.7183 0.0067 0.0003 3.7183 0.0498 0.0183

EDU» imag(y) %y’nin sadece imajiner kısmı

ans =

0 2.2361 2.8284 0 1.7321 2.0000

Örnek 10

EDU» x=[1+1i 2+2i 3+3i 4+4i

4+2i -2-2i 1-4i -2

2i -3 -4i 0]

x =

1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 2.0000i 3.0000 + 3.0000i 4.0000 + 4.0000i

4.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000i 1.0000 - 4.0000i -2.0000

0 + 2.0000i -3.0000 0 - 4.0000i 0

EDU» y=3.*x+sqrt(x)-x %y=3x+-x

y =

3.0987 + 2.4551i 5.5538 + 4.6436i 7.9030 + 6.7882i 10.1974 + 8.9102i

10.0582 + 4.4859i -3.3564 - 5.5538i 3.6005 - 9.2496i -4.0000 - 1.4142i

1.0000 + 5.0000i -6.0000 - 1.7321i 1.4142 - 9.4142i 0

EDU» r=y-j*imag(y) % y’den imajiner kısmı çıkartıyoruz

r =

3.0987 5.5538 7.9030 10.1974

10.0582 -3.3564 3.6005 -4.0000

1.0000 -6.0000 1.4142 0

EDU» real(y) % y’nin gerçek kısmı üstteki ifadeyle aynı

ans =

3.0987 5.5538 7.9030 10.1974

10.0582 -3.3564 3.6005 -4.0000

1.0000 -6.0000 1.4142 0

Örnek 11

EDU» x=fir1(50,0.2,hamming(51));

EDU» fx=fft(x);

EDU» ax=abs(fx);

EDU» subplot(3,2,5)

EDU» plot(ax,'k')

EDU» title('hamming süzgeci genlik yanıtı')

EDU» t = 0:0.001:0.6;

EDU» y = sin(2*pi*100*t) + sin(2*pi*500*t)+sin(2*pi*750*t) + sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2500*t) + sin(2*pi*1200*t);

EDU» fy=fft(y);

EDU» ay=abs(fy);

EDU» subplot(3,2,3)

EDU» plot(y,'k')

EDU» subplot(3,2,1)

EDU» plot(y,'k')

EDU» title('farklı frekansta 6 sinüs toplamı')

EDU» subplot(3,2,3)

EDU» plot(ay,'k')

EDU» title('sinüslerin genlik spektrumu')

EDU» c=conv(x,y);

EDU» subplot(3,2,2)

EDU» plot(c)

EDU» fc=fft(c);

EDU» ac=abs(fc);

EDU» subplot(3,2,4)

EDU» plot(ac)

EDU» title('tek sinüsün genlik spektrumu')

EDU» subplot(3,2,2)

EDU» title('süzgeç çıkışı tek sinüs');

Örnek 12

EDU» t=0:1:100; %0 ile 100 arasında tanımlı

EDU» x=t.*0; % x’in tüm değerlerini sıfırla

EDU» for i=1:length(t)

if(t(i)<25)x(i)=2; % 25’ten küçükse x’in değeri 2

else x(i)=0;

end

EDU» subplot(2,2,1)

EDU» plot(x) %çiz

EDU» title('tek darbe')

EDU» fx=fft(x); %fourier dönüşümünü al

EDU» ax=abs(fx); %genlik spektrumu

EDU» subplot(2,2,2)

EDU» plot(ax)

EDU» title('genlik spektrumu (sinc)')

EDU» subplot(2,2,3)

EDU» plot(ax)

EDU» title('genlik spektrumu (sinc)')

EDU» y=fir1(20,0.2,hamming(21)); %hamming filtresi 20.dereceden

EDU» c=conv(x,y); %darbeyi süzgeçle (konvolüsyon)

EDU» fc=fft(c); %süzgeç çıkışının fourier’i

EDU» ac=abs(fc); %genlik spektrumu

EDU» subplot(2,2,4)

EDU» plot(ac)

EDU» title('süzgeçlenmiş darbenin genlik spektrumu')

EDU» subplot(2,2,2)

EDU» plot(c)

EDU» title('süzgeçlenmiş darbe')
********************************************************************

ROOTS

Bir polinomun köklerini MATLAB’ ta bulmak için kullanılan fonksiyonlardandır. Genel kullanım biçimi

r = roots ( p )

olarak verilir.

buradaki p ; polinomu , r ise onun köklerini ifade eder.

MATLAB’ ta aşağıdaki komut girildiğinde

>> help roots

ROOTS Find polynomial roots.

ROOTS(C) computes the roots of the polynomial whose coefficients

are the elements of the vector C. If C has N+1 components,

the polynomial is C(1)*X^N + ... + C(N)*X + C(N+1).